Dunia Teknik Sipil dan Teknologi Konstruksi: Momen Inersia Segitiga

gambar_19527_image001 Menghitung Momen Inersia Segitiga

Setelah membahas perhitungan momen inersia bentuk persegi, kali ini kita akan coba hitung sendiri momen inersia segitiga, soalnya bentuk ini juga merupakan bentuk geometri dasar yang banyak digunakan.

Khusus untuk structural engineering, bentuk penampang segitiga mungkin sangat jarang digunakan untuk dijadikan penampang elemen struktur. Bentuk trapesium sendiri bisa dikatakan gabungan dari lebih dari satu penampang persegi dan atau penampang segitiga.

Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Penampang balok jembatan biasanya paling banyak menggunakan bentuk-bentuk gabungan persegi dan segitiga.

Penampang balok girder jembatan

Sementara bentuk segitiga terpancung, bisa kita lihat pada salah satu pondasi tipe minipile (pondasi tiang pancang yang ukurannya penampangnya relatif kecil).

Pondasi minipile penampang segitiga

Momen Inersia Segitiga

Bentuk dasar segitiga secara umum bisa digambarkan sebagai segitiga siku-siku. Bentuk-bentuk segitiga yang lain bisa diturunkan dari penggabungan atau pengurangan dua atau lebih segitiga siku-siku.

gambar_19527_image002

Kembali ke bentuk dasar, segitiga siku-siku dapat dikatakan mempunyai dua variabel utama, panjang alas $b$ , dan tinggi $h$ .

Ada dua cara menentukan persamaan momen inersia segitiga, yang pertama dengan cara menentukan momen inersia langsung di sumbu titik berat segitiga, dan yang kedua melalui transformasi momen inersia dari luar sumbu titik berat.

A. Cara I

gambar_19527_image005

Kami rasa kita tidak perlu bersusah payah mencari lokasi titik berat segitiga, soalnya sudah jadi rahasia umum kalau titik berat segitiga selalu berada pada sepertiga lebar alas dan sepertiga tinggi.

Kita akan menentukan formula momen inersia terhadap sumbu x ( $I_{xx}$ ).
Selanjutnya kita ikuti prosedur di bawah:

Tentukan lokasi garis berat sejajar sumbu x.
Buat elemen $dA$ pada jarak tertentu dari sumbu x, katakanlah jaraknya adalah $y$ . Elemen $dA$ tersebut mempunyai lebar $b_y$ dan tinggi $dy$
$dA = b_y dy$
Besarnya $b_y$ berbeda-beda untuk setiap nilai $y$ .
Jika $y = - \dfrac{h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{-h}{3}} = b$ .
Jika $y = \dfrac{2h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{2h}{3}} = 0$ .
Sehingga bisa dituliskan,
$\begin{array}{rl} \dfrac{b_y - b}{0 - b} &= \dfrac{y - \frac{-h}{3}}{\frac{2h}{3} - \frac{-h}{3}} \\ \\ b_y &= b - b \big( \dfrac{y + \frac{h}{3}}{h} \big) \\ \\ &= b - \dfrac{by}{h} - \dfrac{b}{3} \\\\ b_y &= b ( \dfrac23 - \dfrac{y}{h}) \end{array}$
Momen inersia $I_{xx}$
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b \big( \dfrac23 - \dfrac{y}{h} \big) \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \dfrac{2b}{3}y^2 - \dfrac{b}{h} y^3 \text{d}y \\\\ &= \dfrac{2b}{9}y^3 - \dfrac{b}{4h} y^4 \bigg|_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^3-\big(\dfrac{-h}{3} \big)^3 \bigg) - \dfrac{b}{4h} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^4 - \big(\dfrac{-h}{3}\big)^4 \bigg) \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \big( \dfrac{8h^3}{27} + \dfrac{h^3}{27} \big) - \dfrac{b}{4h} \big( \dfrac{16h^4}{81} - \dfrac{h^4}{81} \big) \\\\ &= \dfrac{2bh^3}{27} - \dfrac{5bh^3}{108} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$

Jadi, momen inersia segitiga terhadap garis beratnya adalah $I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}$

B. Cara II

Cara kedua ini relatif lebih mudah daripada cara yang pertama. Jika cara pertama menggunakan garis berat sebagai sumbu acuan, kali ini kita akan menggunakan alas segitiga sebagai sumbu acuan.

gambar_19527_image007

Kita hitung dulu momen inersia terhadap alas segitiga di atas.

Prosedurnya hampir sama dengan cara I, namun yang membedakan adalah batas atas dan batas bawah pengintegralan. Pada cara yang kedua ini, batas atasnya adalah $y = h$ , dan batas bawahnya adalah $y = 0$ .
Menentukan $b_y$ .
$b_y = b-\dfrac{b}{h}y$
Hitung momen inersia $I_{x}$
$\begin{array}{rl} I_x &= \int_0^h y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_0^h y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h y^2 \big(b-\dfrac{b}{h}y\big) \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h by^2-\dfrac{b}{h}y^3 \\\\ &= \dfrac{b}{3}y^3 - \dfrac{b}{4h}y^4 \bigg|_0^h \\\\ &= \dfrac{bh^3}{3} - \dfrac{bh^3}{4} \\\\ I_x &= \dfrac{bh^3}{12} \end{array}$
Momen inersia di atas bukan momen inersia terhadap sumbu penampang. Jika ingin menentukan momen inersia pada sumbu penampang, $I_{xx}$ , maka kita gunakan formula transformasi momen inersia:
$I_x = I_{xx} + A\bar{y}^2$ , dimana $\bar{y} = \frac{h}{3}$
Menghitung momen inersia terhadap sumbu netral:
$\begin{array}{rl} I_x &= I_{xx} + A\bar{y}^2 \\\\ \dfrac{bh^3}{12} &= I_{xx} + \big( \dfrac{bh}{2} \big) \big( \dfrac{h}{3} \big)^2 \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{12} - \dfrac{bh^3}{18} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$